摘要：运用迭代序列响应面法和非线性有限元法，对桥梁结构承载能力体系进行可靠度评估。对大桥结 构进行概率灵敏度分析，获得影响桥梁结构极限承载力的主要结构参数。应用实验设计方法得到输入参数值 (桥梁荷载和体系状态)，将桥梁极限承载力作为响应面的输出参数，按照迭代序列响应而法得到桥梁体系极限 承载力的回归方程，再与倚载共同组成桥梁体系承载力的极限状态方程；使用该极限状态方程和改进的一次二 阶矩法，计算桥梁体系的失效概率与验算点，利用验算点求得新的展Jf点进行迭代计算，最终得到桥梁体系承 载力的可靠度。应用该方法对九江长江大桥进行体系承载力町靠度评估的结果表明：经2次响应面迭代计算得 到的响应面拟合精度达o．61％；九江长江大桥3大拱在中跨满载和边跨满载时的体系承载能力可靠度分别为 5．75与5．90，均在正常范围内。

关键词：公铁两用桥；可靠度评估；迭代系列响应面法；非线性有限元；极限承载力 

    传统的体系可靠度分析方法可以分为3类：直接法(如直接积分法和直接模拟法)、分析法(如失效模式法和分支界限法)和综合法(如贝叶斯更新法等)。近年来，Irfan等研究者开始应用响应面 方法进行结构体系可靠度的研究尝试，李广慧将响应面法和非线性有限元分析结合起来应用于桥梁体系可靠度分析。后来又有学者建立和发展了迭代响应面法。本文提出将迭代序列响应面法与非线性有限元分析结合的桥梁体系可靠度评估方法，并应用该方法对九江长江大桥进行承载能力体系可靠度分析。

1基于迭代序列响应面法的体系可靠度求解方法

    在结构可靠性分析中，结构的极限状态是由功能函数表达的，但功能函数表达式往往是高度非线性的，很难求解。因此，有必要在保持实际结构体系的必要特性的前提下，简化力学性能模型，以便可以在各种体系荷载作用下对体系性能进行简单计算。换言之，必须找到合适的联系输入参数(荷载和体系状态)和输出参数(对应力、位移等的响应)的变换函数，这个变换函数称作响应面。当结构系统的响应面已知时，也就是功能函数已知，就可以很方便地写出结构系统的极限状态方程。 

    通过可靠度分析，可以求解验算点并得到结构的可靠指标，而应用响应面法的近似极限状态曲面可以较容易地求解可靠指标，由于极限状态曲面是近似的，因此需要迭代求解。基于此，文献中提出了迭代序列响应面法，其具体步骤如下：

(1)取初始迭代点

`x^（1）=(x₁^（1），⋯，x_i^（1），⋯，x_n^（1）)，初始迭代点一般取各输人参数的平均值； 

(2)利用有限元计算初始输入为(x₁^（1），⋯，x_i^（1），⋯，x_n^（1）)和(x₁^（1），⋯，x_i^（1）+¦s_i，⋯，x_n^（1）)的输出结果，求得相应的估计值(输出个数根据中心复合设计法确定)，其中¦的取值可按3s(s为标准差)原则选取，在第1次迭代计算中，建议取2或取3，在以后各次迭代计算中，建议取1； 

(3)根据输入和求得的估计值插值求解功能函数  中的待定系数a， b_i，c_i（i=1，2…，n），从而得到当前迭代点处功能函数的近似极限状态方程Z=g(z)一S，其中S为荷载作用；

(4)由一般可靠度的求解方法求解验算点`x^（k）以及可靠指标β^（k），其中上标k表示第k次迭代； 

(5)计算|β^（k）-β^（k-1）|的值，判断此值是否满足计算精度要求。如果满足则输出失效概率和可靠指标，计算结束；如果条件不满足，则根据式(1) 插值求得新的展开点，然后返回第(2)步进行下一次迭代。

    应用实验设计方法得到输入参数值，进行桥梁结构极限承载力分析，将桥梁极限承载力作为响应面的输出参数，利用响应面方法获得桥梁体系极限承载力的回归方程g(x)，然后与荷载作用S组成桥梁体系承载力的极限状态方程Z，通过该极限状态方程，利用改进的一次二阶矩法计算体系失效概率与验算点，利用求得的验算点按式(1)求得新的展开点进行迭代计算，直至满足计算精度。以上即为本文提出的迭代序列响应面法与非线性有限元分析相结合分析桥梁体系可靠度的基本过程。

2九江长江大桥承载力可靠度评估

2．1大桥概况 

    九江长江大桥是京九铁路大干线上一座现代化的特大公铁两用桥。本文分析的3大拱部分为正桥主跨，是一联180 m+216 m+180 m连续刚性梁 柔性拱钢梁，上层为设有4车道和两侧人行道的公路，下层为双线铁路。主桁为带竖杆的三角形桁架，桁高16 m，节间长9 m，两主桁中心距12．5 m，中跨拱矢高32 m，边跨为24 m，所用钢材为15MnVNq钢及16Mnq钢，其屈服强度为412MPa。杆件连接及其组合采用栓焊结构。 

2．2非线性有限元分析 

    由于大桥结构复杂，需通过有限元计算找出内力及变形的分布规律，判断结构的破坏形式，并以此为基础，依据结构的输入与输出响应值，按常规的回归方法确定功能函数的待定系数，由此建立对应于危险部位的承载能力极限状态方程，从而获得体系响应面方程。 

2．2. l有限元模型的建立 

    在建立3大拱主体结构的静力有限元模型时，公路横梁与公路纵梁之间的处理采用2种形式：①将所有活动支座视为固定支座，约束其纵向位移(X向位移)；②在活动支撑处，释放X向位移、绕y向和绕Z向转角的约束，在固定支撑处，释放绕y向和绕Z向转角的约束。铁路横梁与铁路纵梁之间设置刚性连接。在铁路纵梁的滑动处，释放梁端的X向位移、绕y向和绕Z向转角的约束。3大拱划分为1l 952个单元、6 775个节点，设置1 619个刚性连接，释放245个梁端约束，在支座处设置8个一般支撑，采用92种截面形式。公路部分计算跨径取180 m，铁路部分计算跨径取150 m。有限元模型如图1所示。

图1有限元模型

2．2．2参数灵敏度分析 

    采用概率方法进行系统参数的灵敏度分析，运用Monte-Carlo法进行循环计算。灵敏度用输入输出变量的相关系数表示如下：

式中：Xi为输入变量；V为输出变量。 

    将钢梁屈服强度、截面积、惯性矩、主桁高以及拱肋高等作为基本变量，运用Monte-Carlo对有限元模型进行循环仿真分析，获得桥梁体系的极限承载力。由概率灵敏度分析得到的基本变量的灵敏度及统计参数见表1。 表l钢梁主要基本变量及其灵敏度

注：表中A为各钢梁截面积。

    由表1可知，对极限承载力影响较大的主要基本变量为钢梁屈服强度、截面积以及主桁高，其他变量对极限承载力的影响很小，其灵敏度均小于0．05，可以不予考虑。

2．2．3体系承载力分析 

    桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力。 

    以3大拱下弦杆各跨跨中位移突然急剧变化作为桥梁结构系统破坏的判定准则，采用逐级加载的方法对3大拱中跨(工况1)和边跨(工况2)分别进行均布力加载全过程分析。2种工况下的加载示意图如图2所示，2种工况极限荷载作用下的变形如图3所示。

图3极限荷载作用下变形

2．3响应面迭代分析 

    通过有限元分析，可得输入参数不同取值下对应的输出结果，以此为基础进行响应面分析。现以工况1为例，利用迭代序列响应面法对大桥体系承载力进行可靠度分析。 

2．3．1初始试验设计及响应面方程 

    根据中心复合旋转设计方法，确定各个变量的变化范围及其组合，初始试验设计时变量角点采用距中心点3倍标准差的取样距离(见迭代响应面法计算步骤)，各变量的实际水平取值见表2，经过中心变换后得到的变量水平值及极限承载力见表3，表2和表3中a均取1．68。 

表2不同取值水平下的实际变量值

表3初始试验设计及模拟结果

对表3中的模拟结果进行回归分析，可得到该工况下的桥梁结构系统承载力响应面方程为

式中：R为极限承载力；X1为钢梁屈服强度；X2为钢梁截面积与标准值之比；X3为主桁高。 

2．3．2初始可靠度分析 

    由拟和的极限承载力响应面方程，并考虑抗力计算模式的不确定性和荷载作用计算模式的不确定性，建立桥梁体系承载力极限状态方程为

式中：Sh，Sq，St分别为列车荷载、公路车道荷载和人群荷载；Kr，Ksh，Ksq，Kt分别为抗力、列车荷载、公路荷载以及人群荷载计算模式的不确定性系数。 

    各荷载及计算模式不确定性系数的概率特性采用表4中的统计参数。 

表4荷载与计算模式不确定性统计参数

    利用作者自编的改进一次二阶矩可靠度分析程序进行计算，得到可靠度分析结果及初始试验设计验算点坐标列于表5中。 

表5设计验算点及可靠指标

    将设计验算点作为输入，桥梁结构体系承载力的非线性有限元分析结果和基于初始响应面的预测结果见表6。从表6可以看出，设计验算点处的有限元分析结果与响应面预测结果较为吻合，该响应面拟和较为可靠。为证明该响应面的可靠性并且更进一步提高响应面的精度，根据迭代序列响应面思想，进一步修正试验设计，拟和新的响应面。

表6非线性有限元分析结果和响应面的预测值比较

2．3．3第2次试验设计及响应面方程 

    根据式(1)求得新的展开中心点，第2次试验设计时变量角点采用距中心点l倍标准差的取样距离。通过对实验设计下的非线性有限元分析结果进行回归分析，得到该工况下的桥梁结构系统承载力响应面方程：

2．3．4体系可靠度分析 

由拟和的极限承载力响应面方程，建立桥梁体系承载力的极限状态方程： 

    得到的可靠度分析结果及试验设计验算点坐标列于表7中。 

将设计验算点作为输入，桥梁结构系统承载力的非线性有限元分析结果和基于响应面的预测结果见表8。从表8可以看出，设计验算点处的有限元分析结果与响应面预测结果非常吻合，证明了该响应面的可靠性，且第2次拟和的响应面具有更高的精度。由于第2次求得的体系可靠指标与初始可靠指标相差仅为0．01，据迭代序列响应面的计算思路，不必再进行新的响应面设计，九江长江大桥3大拱部分在工况1条件下的体系承载能力可靠度为5．75。在工况2条件下的体系承载力可靠度分析过程同上，通过2次响应面分析，得到工况2条件下体系承载能力可靠度为5．90。 

表7设计验算点及可靠指标 

表8非线性有限元分析结果和响应面预测值的比较

2．4可靠度评估结论 

    《公路工程结构可靠度设计统一标准》(GB／T50283)一级安全等级持久状况设计构件的目标可靠指标规定公路桥梁为4．7，铁路桥梁为5．2，而对体系的目标可靠指标没有具体规定。对超静定体系，当受力最大的构件达到承载力极限状态时，体系仍有继续承载的能力，因而体系的可靠度通常高于构件的可靠度。九江长江大桥3大拱在中跨满载和边跨满载时，体系承载力可靠度分别为5．75与5．90，均大于5．20，因此九江长江大桥3大拱在上述工况下的体系承载力可靠度在正常范围内。

3结语

将基于迭代序列响应面与非线性有限元相结合，研究桥梁体系可靠度，并应用到九江长江大桥的体系承载力可靠度评估中。应用结果表明，采用迭代序列响应面法与非线性有限元分析结合的桥梁结构体系可靠度分析方法，可用较少的试验次数获得较高的计算精度；对ANSYS进行二次开发，实现了将响应面与非线性有限元分析结合拟和桥梁极限承载力响应面的功能，结合改进的一次二阶矩程序，可以较方便地实现桥梁体系可靠度的分析与评估。

参 考 文 献

[1] IRFAN K,CHRIS A M.A Response Surface Method Based on Weighted Regression for Structural Reliability Analysis[J].Probabilistic Engineering Mechanics,2005,20:11-17.

[2] 李广慧，刘晨字，托拉欧尼弗里奥．响应面方法及其在桥梁体系可靠度分析中的应用[J]．郑州大学学报：工学版，2004，25(3)：16—21．

[3]PANDEY M D．An Effective Approximation to Evaluate Multinormai IntegraIs[J]．Structural Safety，l998，20(1)：51-67． 

[4] ENGELUND S，RACKWITZ R.A Benchmark Study on Importance Sampling Techniques in Structural Reliability [J]．Structural Safety，1993，12(4)：255—276． 

[5] 梅刚，林道锦，秦权．现状车载下旧桥承载力评定和可靠度有限元分析[J]．中国铁道科学，2004，25(6)：72—77．

[6] 佟晓利，赵国藩．一种与结构可靠度分析几何法相结合的响应面方法[J]．土木工程学报，1997，30(4)：51—57．

[7] 上海师范大学数学系．回归分析及其试验设计[M]．上海：上海教育出版社，1978．